Une partie des travaux A. Beurling (1938) portait sur l'extrapolation minimale (au sens de la norme de la variation totale) d'une fonction à partir de la connaissance de sa transformée de Fourier sur un compact.
Dans cet exposé, on poursuivra une partie de ce programme en s'intéressant au problème de la « super-résolution » : la reconstruction d'une mesure de support finie à partir de l'observation d'un filtre passe-bas bruité.
Il s'agit d'un problème de dé-convolution à partir de peu de basses fréquences bruitées. Pour cela on introduira un programme de minimisation L1 appelé « Beurling LASSO » et s'apparentant au LASSO standard de la régression en grande dimension.
On présentera un résultat de stabilité quantifiant explicitement l'écart entre le support reconstruit et le vrai support que l'on cherche à reconstruire.
Références :
J.-M. Azais, Y. de Castro, and F. Gamboa, Spike detection from inaccurate samplings, arXiv preprint arXiv:1301.5873 (2013).
E.J. Candes and C. Fernandez-Granda, Super-resolution from noisy data, arXiv preprint arXiv:1211.0290 (2012).
E.J. Candes and C. Fernandez-Granda, Towards a mathematical theory of super-resolution, Communications on Pure and Applied Mathematics (2012).
Y. de Castro and F. Gamboa, Exact reconstruction using beurling minimal extrapolation, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2012).